Question

（2004•呼和浩特）如图，已知M是?ABCD的AB边的中点，CM交BD于E，则图中阴影部分的面积与?ABCD的面积之比是（　　）

• A．

  1

  6

• B．

  1

  4

• C．

  1

  3

• D．

  5

  12

Answer 1

分析：先过E作GH⊥CD，分别交AB、CD于H、G，再设EH=h，BM=a，S_△BEM=

1

2

ah=x，根据平行四边形的性质，结合M是AB中点，可得AB=CD=2a，再利用AB∥CD，根据平行线分线段成比例定理的推论可知△BME∽△DCE，根据比例线段易得GH=3h，根据三角形面积公式以及平行四边形的面积公式易求S_{平行四边形ABCD}以及S_阴影，进而可求它们的比值．

解答：解：如右图，过E作GH⊥CD，分别交AB、CD于H、G，
设EH=h，BM=a，S_△BEM=

1

2

ah=x，那么
∵M是AB中点，
∴BM=

1

2

AB，
∵四边形ABCD是?，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=CD=2a，
∵AB∥CD，
∴△BME∽△DCE，
∴EH：GE=BM：CD=1：2，
∴GH=3h，
∴S_{四边形ABCD}=AB×GH=2a×3h=6ah=12x，
S_△CBE=S_△MBC-S_△BME=

1

2

•a•3h-

1

2

ah=ah=2x，
同理有S_△MED=2x，
S_阴影=S_△CBE+S_△MED=4x，
∴S_阴影：S_{四边形ABCD}=4x：12x=1：3．
故选C．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、三角形的面积、平行线分线段成比例定理的推论，解题的关键是过E作GH⊥CD，制造出三角形、平行四边形的高，从而便于计算．