Question

【题目】如图1，点C是线段AB上一点，AC＝AB，BC为⊙O的直径．

（1）在图1直径BC上方的圆弧上找一点P，使得PA＝PB；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）连接PA，求证：PA是⊙O的切线；

（3）在（1）的条件下，连接PC、PB，∠PAB的平分线分别交PC、PB于点D、E．求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）作出线段AB的垂直平分线，得到点P；

（2）连接OP、BP、CP，证明△PAC≌△PBO，根据全等三角形的性质得到PC＝PO，根据等边三角形的性质、切线的判定定理证明；

（3）作EF∥PC交AB于F，证明△AEP和△AEF，根据全等三角形的性质得到AF＝AP＝r，根据平行线的性质计算即可．

（1）如图（1）所示：PA＝PB；

（2）证明：连接OP、BP、CP，

∵AC＝AB，OC＝OB，

∴AC＝OB，

∵PA＝PB，

∴∠A＝∠PBA，

在△PAC和△PBO中，

，

∴△PAC≌△PBO（SAS）

∴PC＝PO，又OP＝OC，

∴OP＝PC＝OC，

∴△POC为等边三角形，

∴∠POC＝60°，

∴∠A＝∠PBO＝∠POC＝30°，

∴∠OPA＝90°，

∴PA是⊙O的切线；

（3）解：作EF∥PC交AB于F，

设⊙O的半径为r，则AC＝3r，AH＝r，

∴AP＝＝r，

∠PDE＝∠PAE+∠APD，∠PED＝∠BAE+∠ABE，∠ABE＝∠APD，

∴∠PDE＝∠PED，

∵EF∥PC，

∴∠PDE＝∠AEF，

∴∠PED＝∠AEF，

在△AEP和△AEF中，

，

∴△AEP和△AEF（ASA），

∴AF＝AP＝r，

∵EF∥PC，

∴＝＝．