Question

已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．

（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；

（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．

Answer 1

解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；

（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：

由折叠可知：△APO≌△CPO，

∴∠APO=∠CPO，

又∵OA=OP，

∴∠A=∠APO，

∴∠A=∠CPO，

又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，

∴∠A=∠PCB，

∴∠CPO=∠PCB，

∴PO∥BC；

（3）∵CD为圆O的切线，

∴OC⊥CD，又AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠APO=∠COP，

由折叠可得：∠AOP=∠COP，

∴∠APO=∠AOP，

又OA=OP，∴∠A=∠APO，

∴∠A=∠APO=∠AOP，

∴△APO为等边三角形，

∴∠AOP=60°，

又∵OP∥BC，

∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，

∴△BCO为等边三角形，

∴∠COB=60°，

∴∠POC=180°﹣（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，

∴△POC也为等边三角形，

∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，

又∵∠OCD=90°，

∴∠PCD=30°，

在Rt△PCD中，PD=PC，

又∵PC=OP=AB，

∴PD=AB，即AB=4PD．