Question

12．已知关于x的一元二次方程kx²-2（k+1）x+k+3=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁，x₂是方程的两个实数根，且kx₁²+2（k+1）x₂+k+3=4x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=$\frac{2（k+1）}{k}$，x₁x₂=$\frac{k+3}{k}$，kx₁²-2（k+1）x₁+k+3=0，得出kx₁²=2（k+1）x₁-（k+3）然后代入解方程即可．

解答 解：（1）∵方程有实数根，
∴k≠0且△=[2（k+1）]²-4k（k+3）≥0，
解得：k≤1且k≠0，
∴k的取值范围：k≤1且k≠0．
（2）∵x₁，x₂是方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=$\frac{2（k+1）}{k}$，x₁x₂=$\frac{k+3}{k}$，kx₁²+2（k+1）x₁+k+3=0，
∴kx₁²=2（k+1）x₁-（k+3），
∴kx₁²+2（k+1）x₂+k+3=4x₁x₂，
2（k+1）x₁-（k+3）+2（k+1）x₂+k+3=4•$\frac{k+3}{k}$，
2（k+1）•$\frac{2（k+1）}{k}$=4•$\frac{k+3}{k}$，
解得：k=-2或k=1，
∵k≤1且k≠0，
∴k=-2或k=1．

点评 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，关键是掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，反过来也成立．