Question

（2002•十堰）如图，在平面直角坐标系中，ABCD为等腰梯形，AD∥BC，BC=2AD，梯形ABCD的面积S=18，中位线长为3，点B的坐标为（1，0）．
（1）求过A、B、C、D四点的抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上的任意一点，试比较△PBC的面积与梯形ABCD面积S的大小，并求出P点的坐标，不能求出时，请求出P点纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了等腰梯形的中位线长为3，因此BC+AD=6，由于BC=2AD，因此BC=4，AD=2．然后根据梯形的面积为18可求出A、D的纵坐标，再根据B点的坐标即可求出A、C、D的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）可求出△PBC与四边形ABCD的面积相等时，P点的纵坐标，然后根据此来判断两者的关系（不同的P点的取值范围对应的大小关系不同）．
解答：解：（1）依题意有：BC=2AD，BC+AD=6；
∴BC=4，AD=2；
∵梯形ABCD的面积为18，即S=3×y_A=18，
∴y_A=6
∴A（2，6），B（1，0），C（5，0），D（4，6）
设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
则有：a×1×（-3）=6，a=-2
∴y=-2（x-1）（x-5）=-2（x-3）²+8．

（2）当S_△PBC=S=18时，
S_△PBC=BC•|y_P|=18，
∴|y_P|=9
易知抛物线的顶点坐标为（3，8）；
因此当-9＜y_P≤8时，S_△PBC＜S
当y_P=-9时，S_△PBC=S
当y_P＜-9时，S_△PBC＞S．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识点．综合性较强．