Question

11．已知O、A、B、C的坐标分别为（0，0）、（1，0）、（1，1）、（0，1），求证：无论k为何值，一次函数y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函数y=x²必会有一个交点在单位正方形OABC内部．

Answer 1

分析 联立方程得出关于x的二元一次方程，根据△=（k+1）²+$\frac{1}{3}$＞0，判定一次函数y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函数y=x²必有两个不同的交点；然后分两种情况讨论，判定两种情况都不存在，从而证得结论．

解答 解：∵y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$），
∴k≠0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-（\frac{k}{2}-\frac{1}{3}）}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$，
∴x²-kx+（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）=0，
∵△=k²-4×1×（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）=（k+1）²+$\frac{1}{3}$＞0，
∴一次函数y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函数y=x²必有两个不同的交点，
①当k＞0时，一次函数y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函数y=x²的交点在单位正方形OABC外部，
则x=0时，y＞0，当x=1时，y＞1，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{k}{2}+\frac{1}{3}＞0}\\{\frac{k}{2}+\frac{1}{3}＞1}\end{array}\right.$
解得不等式组无解，
所以，此种情况不存在；
②当k＜0时，一次函数y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函数y=x²的交点在单位正方形OABC外部，
则x=0时，y＜0，当x=1时，y＞1，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{k}{2}+\frac{1}{3}＜0}\\{\frac{k}{2}+\frac{1}{3}＞0}\end{array}\right.$
解得k$＞\frac{4}{3}$，这与k＜0矛盾，
所以，此种情况也不存在；
综上，无论k为何值，一次函数y=kx-（$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{3}$）和二次函数y=x²必会有一个交点在单位正方形OABC内部．

点评 本题考查了二次函数的性质，直线和抛物线的交点问题，分类讨论思想的运用是解题的关键．