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【题目】已知△OBF 是直角三角形,∠BFO=90°,∠BOF=30°,△AOB 是等边三角形,OB=4,点 A 与点 F 位于直线 OB 的异侧.

(Ⅰ)如图①,求 BF 及 OF 的长;

(Ⅱ)点 P 是直线OF 上的一个动点,连接 AP,以点 A 为旋转中心,把△AOP 逆时针旋转,使边 AOAB 重合,得△ABD.

①如图②,求在点 P 运动过程中,使点 D 落在线段 OF 上时 OP 的长;

②求在点 P 运动过程中,使点 P 落在线段 OF 上,且△OPD 的面积等于 OP 的长(直接写出结果即可).

【答案】(1)(2)①

【解析】

(I)如图①中,解直角三角形△OBF 即可;

(Ⅱ)①只要证明△PAD 是等边三角形,OA⊥PD 即可解决问题;

②如图③中,过点 B BE⊥OA 于点 E,过点 D DH⊥x 轴于点 H,延长 EB DH 于点 G,则 BG⊥DH.根据三角形的面积公式构建方程即可解决问题;

(I)如图①中,

在 Rt△BOF 中,∵∠F=90°,∠BOF=30°,OB=4,

∴BF= OB=2,OF= =2

(Ⅱ)①如图②中,

∵△AOB 是等边三角形,

∴OA=OB=AB=4,∠OAB=∠AOB=60°

由旋转可知:∠PAD=∠OAB=60°,AP=AD,

∴△APD 是等边三角形,

∵∠AOD=∠AOB+∠BOF=90°,

∴OA⊥PD,

∴OP=OD,∠PAO=∠DAO=30°,

∴OP=OAtan30°=

②如图③中,过点 B 作 BE⊥OA 于点 E,过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H,延长 EB 交 DH 于点 G,则 BG⊥DH.

设 BD=OP=x,

在 Rt△DBG 中,∠DBG=60°,

∴DG=BDsin60°= x.

∴DH=2+ x.

∵△OPD 的面积等于

x(2+ x)=

整理得:x2+4x﹣=0,

解得:x= (舍去).

∴OP=

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