Question

把两个正方形纸片在相同的顶点A处钉上一个钉子，然后旋转小正方形AEFG．已知大正方形的边长为4，小正方形的边长为a（a≤2）．（以下答案可以用含a的代数式表示）
（1）把小正方形AEFG绕A点旋转，让点F落在正方形ABCD的边AD上得图1，求△BDF的面积S_△BDF；
（2）把小正方形AEFG绕A点按逆时针方向旋转45°得图2，求图中△BDF的面积S_△BDF；
（3）把小正方形AEFG绕A点旋转任意角度，在旋转过程中，设△BDF的面积为S_△BDF，试求S_△BDF的取值范围，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）观察图形，△BDF的面积可由△ABD、ABF的面积差得到，可分别求出△ABD、△ABF的面积，然后作差即可．
（2）思路同（1），△BDF的面积，可由△ABD、梯形AGFD的面积和减去△ABF的面积求得，即可得解．
（3）过F作BD的垂线，设垂足为H，由于BD是定值，△BDF的面积最大，则FH最大，△BDF的面积最小，则FH最小；可据此画出图形，求出两种情况下△FDH的面积，从而得到其取值范围．

解答：解：
（1）S_△BDF=S_△ABD-S_△ABF，
∵小正方形的边长为a，
∴AF=

2

a，
∴S_△BDF=S_△ABD-S_△ABF，
=4×4×

1

2

-

1

2

×4×

2

a=8-2

2

a．

（2）如图1，S_△BDF=S_△ABD+S_梯形AGFD-S_△BGF=

1

2

×4×4+

1

2

×a（4+a）-

1

2

×a（4+a）=8．

（3）如图2，作FH⊥BD于H点，连接AF．则S_△BDF=

1

2

×BD×FH，
因为小正方形AEFG绕A点旋转任意角度，所以点F离线段BD的距离是变化的，即FH的长度是变化的．
由于BD得长度是定值，所以当FH取得最大值时S_△BDF最大，当FH取得最小值时S_△BDF最小．
所以当点F离BD最远时，FH取得最大值，此时点F、A、H在同一条直线上（如图3所示）；
当点F离BD最近时，FH取得最小值，此时点F、A、H也在同一条直线上（如图4所示）．
在图3中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×4

2

（2

2

+

2

a）=8+4a，
在图4中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×4

2

（2

2

-

2

a）=8-4a，
∴S_△BDF的取值范围是：8-4a≤S_△BDF≤8+4a．

点评：此题主要考查了正方形的性质、图形面积的求法以及图形的旋转变换，（3）题中，正确地作出辅助线，并判断出△BDF的面积与FH的关系，是解决问题的关键．