Question

15．如图，已知等边三角形ABC的边长为4，D在BC边上，BD=$\frac{1}{3}$CD，∠1=∠2．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）求△ADE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，根据三角形外角的性质得到∠ADC=∠AED，即可得到结论；
（2）由于△ABC是等边三角形，得到AC=BC=4，求出△ABC的高为：2$\sqrt{3}$，得到S_△ABC=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，由已知条件得到S_△ACD=$\frac{3}{4}$S_△ABC=3$\sqrt{3}$，通过△ABD∽△DCE，求得S_△CDE=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠1=∠2，
∵∠ADC=∠1+∠B，∠AED=∠2+∠C，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=4，
∴△ABC的高为：2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×4×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∵BD=$\frac{1}{3}$CD，
∴CD=$\frac{3}{4}$BC=3，
∴S_△ACD=$\frac{3}{4}$S_△ABC=3$\sqrt{3}$，
∵∠1=∠2，∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△DCE}}$=（$\frac{AB}{CD}$）²=$\frac{16}{9}$，
∴S_△CDE=$\frac{9\sqrt{3}}{16}$，
∴S_△ADE=$\frac{39\sqrt{3}}{16}$．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．