Question

【题目】思维探索：

在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．

（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是　 　；

（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；

拓展提升：

如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．

Answer 1

【答案】思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE＝﹣1．

【解析】

思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；

（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；

拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝2，设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝2﹣x，根据线段的和差即可得到结论．

思维探索：

（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，

∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD＝90°，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，

在△AGE和△AFE中

∴△AGE≌△AFE（SAS），

∴GE＝EF，

∵GE＝GB+BE＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF，

∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，

故答案为：8；

（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，

同（1）可证得△AEF≌△AGF，

∴EF＝GF，且DG＝BE，

∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，

∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；

拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，

∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，

∴四边形ACBG是矩形，

∵AC＝BC，

∴矩形ACBG是正方形，

∴AC＝AG，∠CAG＝90°，

在BG上截取GF＝CE，

∴△AEC≌△AGF（SAS），

∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，

∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，

∴∠DAF＝∠DAE＝45°，

∵AD＝AD，

∴△ADE≌△ADF（SAS），

∴∠ADF＝∠ADE＝30°，

∴∠BDE＝60°，

∵∠DBE＝90°，BD＝2，

∴DE＝DF＝4，BE＝2，

设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝2﹣x，

∴DG＝2+2﹣x，

∴DG﹣FG＝DF，

即2+2﹣x﹣x＝4，

∴x＝﹣1，

∴CE＝﹣1．