Question

10．如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A=∠BDC．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM=2时，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OD．欲证明直线CD是⊙O的切线，只需求得∠ODC=90°即可；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．

解答 （1）证明：如图，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，
又∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∵∠A=∠BDC；
∴∠CDB+∠ODB=90°，即∠ODC=90°．
∵OD是圆O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；

（2）解：∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM=∠ACM，
又∵∠A=∠BDC，
∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，
∵∠ADB=90°，DM=2，
∴DN=DM=2，
∴MN=$\sqrt{D{M}^{2}+D{N}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解本题的关键．