如图.在正方形ABCD中.点A.B的坐标分别为.点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上从点A出发沿A→B→C以每秒一个单位长度匀速运动.同时动点Q以每秒12个单位长度在x正半轴上运动.当动点P运动到B时.Q的速度变为每秒4个单位长度匀速继续向前运动.当P点到达C点时两点同时停止运动.设运动的时间为t秒．(1)求正方形边长及顶点C的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限，动点P在正方形ABCD的边上从点A出发沿A→B→C以每秒一个单位长度匀速运动，同时动点Q以每秒

个单位长度在x正半轴上运动，当动点P运动到B时，Q的速度变为每秒4个单位长度匀速继续向前运动，当P点到达C点时两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求正方形边长及顶点C的坐标；
（2）当P点沿A→B上运动时，点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=

t+1，请写出点Q运动起点的坐标；
（3）在（2）的条件下，当P点沿A→B→C运动时，是否存在适当的t值，使△OPQ为直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）利用勾股定理即可求出AB的值，运用三角函数求出顶点C的坐标．
（2）令t=0，即可求出Q运动起点的坐标．
（3）分四种情况①当0＜t≤10时，∠OQP=90°，②当20≥t＞10时，∠OQP=90°③当20≥t＞10时，∠OPQ=90°，④当t=0时，∠POQ=90°，分别求出t的值．

解答：解：（1）∵A（0，10），B（8，4），
∴AB=

82+(4-10)2

=10，
如图1，过点作MN⊥y轴，交y轴于点M，交CE于点N，

∵MB=8，AM=10-4=6，AB=10，
∴sin∠ABM=

，
∵∠ABM+∠CBN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ABM=∠BCN，
∴sin∠BCN=

，
∵BC=10，
∴BN=6，
∴CN=

102-62

=8，
∴OE=8+6=14，EC=4+8=12，
∴顶点C的坐标（14，12）．
（2）∵点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=

t+1，
令t=0，得x=1，
∴点Q运动起点的坐标为（1，0），
（3）①当0＜t≤10时，∠OQP=90°，
∵点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=

t+1，
∴Q（

t+1，0），
∵AP=t，
∴P的坐标为（

t，10-

t），
当P，Q的横坐标相同时，∠PQO=90°，
∴

t+1=

t，解得t=

，
∴t=

时，△OPQ为直角三角形．
②当20≥t＞10时，∠OQP=90°
∵当P点沿A→B上运动时，点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=

t+1=

×10+1=6，
∴当t＞10时，x=6+4（t-10）=4t-34．
∵在AB上AP=t，
∴AB上P的横坐标为

×10=8，
在BC上时点P的横坐标为8+

（t-10）=

t+2，
当P，Q的横坐标相同时，∠PQO=90°，
∴4t-34=

t+2，解得t=

180

，
∴t=

180

时，△OPQ为直角三角形．
③当20≥t＞10时，
∵当P点沿A→B上运动时，点Q的横坐标x与运动时间t（秒）的函数关系式是x=

t+1=

×10+1=6，
∴当t＞10时，x=6+4（t-10）=4t-34．
∴Q坐标为（4t-34，0）
∵在AB上AP=t，
∴AB上的B点时，P的横坐标为

×10=8，纵坐标为4，
在BC上时点P的横坐标为8+

（t-10）=

t+2，纵坐标4+

（t-10）=

t-4．
P的坐标为（

t+2，

t-4）
当∠OPQ=90°，如图2作PM⊥x轴交x轴于点M．

∵∠OPQ=90°，
∴PM²=OM•QM，即（

t-4）²=（

t+2）•（4t-34-

t-2），
化简得7t²-42t-440=0，
解得t₁=3+

3521

，t₂=3-

3521

（舍去）
④当t=0时，∠POQ=90°，
故存在适当的t值，使△OPQ为直角三角形，t=

，

180

或3+

3521

，0．

点评：本题主要考查了四边形综合题．涉及坐标，函数及方程的知识，第三问难度大，解题的关键是要分四种情况分别求出适当的t值，使△OPQ为直角三角形．

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