Question

1．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．

Answer 1

分析 先利用折叠的性质得到DE=D′E，AD=AD′=10，再分类讨论：当∠DD′C=90°时，如图1，利用等腰三角形的性质证明ED′=EC，从而得到DE=EC=$\frac{1}{2}$CD=4；当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，先利用勾股定理计算出BD′=6，则CD′=4，则在Rt△CED′中利用勾股定理得到方程（8-x）²+4²=x²，再解方程求出x，于是可判断当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．

解答 解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，
∴DE=D′E，AD=AD′=10，
当∠DD′C=90°时，如图1，
∵DE=D′E，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴ED′=EC，
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$CD=4；
当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，
设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，
∵AD′=AD=10，
∴在Rt△ABD′中，BD′=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD′=4，
在Rt△CED′中，（8-x）²+4²=x²，解得x=5，
即DE的长为5，
综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．
故答案为4或5．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．