Question

5．直线y=-3x+3与x轴、y轴分别父于A、B两点，点A关于直线x=-1的对称点为点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=mx²+nx-3m（m≠0）经过A、B、C三点，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A，B两点，且顶点在第二象限．抛物线与线段AC有两个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由一次函数图象上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，由对称即可找出点C的坐标；
（2）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（3）依据题意画出函数图象，利用数形结合可得出关于a、b的不等式组，解之即可得出结论．

解答 解：（1）当x=0时，y=-3x+3=3，
∴点B的坐标为（0，3）；
当y=-3x+3=0时，x=1，
∴点A的坐标为（1，0）．
∵点A关于直线x=-1的对称点为点C，
∴点C的坐标为（-3，0）．

（2）将A（1，0）、B（0，3）、C（-3，0）代入y=mx²+nx-3m中，
$\left\{\begin{array}{l}{m+n-3m=0}\\{-3m=3}\\{9m-3n-3m=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-x²-2x+3．

（3）依照题意画出图形，如图所示．
∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A，B两点，且顶点在第二象限．抛物线与线段AC有两个公共点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{-3+1}{2}＜-\frac{b}{2a}＜0}\\{a+b+3=0}\\{9a-3b+3≤0}\end{array}\right.$，
解得：-3＜a≤1．
答：a的取值范围为-3＜a≤1．

点评 本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点A、B的坐标；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（3）画出图形，利用数形结合解决问题．