Question

14．如图1，在△ABC中，D点在边AB上，E点在边AC上，DE∥BC将△ADE绕A点沿顺时针方向旋转30°，使得D、E、C三点在一条直线上，AB与CD交于M点，连接BD，如图2．
（1）在图1中，求证：AD•EC=AE•DB：
（2）如图2，若AE=EC，∠BAC=60°，求$\frac{AM}{CA}$的值：
（3）如图2，若∠BDC=60°，∠ABC=45°，BC=4$\sqrt{2}$，求AB的长度．

Answer 1

分析 （1）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
（2）根据旋转的性质得到∠DAB=∠CAE=30°，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ACE=30°，根据三角形的内角和得到∠DAC=90°，推出△ADE是等边三角形，得到∠AED=60°，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图1，根据平行线的性质得到∠ADE=∠ABC=45°，根据相似三角形的判定和性质得到∠AEC=∠ADB=105°，根据等腰直角三角形的性质得到AD=AC，解直角三角形即可得到结论．

解答 （1）证明：∵DE∥BC，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AE}{CE}$，
∴AD•EC=AE•DB；

（2）解：∵将△ADE绕A点沿顺时针方向旋转30°，
∠DAB=∠CAE=30°，
∵AE=CE，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∵∠BAC=60°，
∴∠DAC=90°，
∴∠ADC=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED=60°，
∵∠MAE=90°-30°-30°=30°，
∴∠AME=90°，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{1}{2}$；

（3）解：如图1，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC=45°，∵∠BDC=60°，
∴∠ADB=105°，
∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∵∠DAB=∠CAE=30°，
∴△ADB∽△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=105°，
∴∠ACE=45°，
∴∠DAC=90°，
∴AD=AC，
∵∠AMD=∠CMB，
∴∠BCM=∠DAM=30°，
∴∠DBC=90°，
∵BC=4$\sqrt{2}$，
∴CD=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，
∴AD=AC=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
过E作EH⊥AC于H，
∴EH=CH，AH=$\sqrt{3}$EH，
∴EH+$\sqrt{3}$EH=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴EH=$\frac{4（3-\sqrt{3}）}{3}$，
∴AE=$\frac{8（3-\sqrt{3}）}{3}$，
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
∴AB=$\frac{12+4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．