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    20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AC=48，点D从点C出发沿CA方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
    （1）求证：AE=DF；
    （2）当四边形BFDE是矩形时，求t的值；
    （3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

    分析 （1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=2t=AE；
    （2）当四边形BEDF是矩形时，△DEF为直角三角形且∠EDF=90°，求出t的值即可；
    （3）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=3，AD=AC-DC=48-4t，若△DEF为等边三角形，则四边形AEFD为菱形，得出AE=AD，2t=48-4t，求出t的值即可；

    解答 解：（1）证明：在Rt△CDF中，∠C=30°
    ∴DF=$\frac{1}{2}$CD，
    ∴DF=$\frac{1}{2}$•4t=2，
    又∵AE=2t，
    ∴AE=DF．

    （2）当四边形BFDE是矩形时，有BE=DF，
    ∵Rt△ABC中，∠C=30°
    ∴AB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×48=24，
    ∴BE=AB-AE=24-2t，
    ∴24-2t=2t，
    ∴t=6．

    （3）∵∠B=90°，DF⊥BC
    ∴AE∥DF，∵AE=DF，
    ∴四边形AEFD是平行四边形，
    由（1）知：四边形AEFD是平行四边形
    则当AE=AD时，四边形AEFD是菱形
    ∴2t=48-4t，
    解得t=8，又∵t≤$\frac{AB}{v}$=$\frac{24}{2}$=12，
    ∴t=8适合题意，
    故当t=8s时，四边形AEFD是菱形．

    点评 本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．

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