Question

【题目】如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．

⑴ 利用直尺和圆规在AB边上求作一点P，使得∠APC＋∠BCP＝90°，并说明理由；（不写作法，保留作图痕迹）

⑵ 在⑴的条件下，试判断∠PCB与∠A之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠A＝2∠PCB ，理由见解析.

【解析】

（1）在AB上截取AP＝AC，利用等腰三角形的性质可证点P为所求作的点

（2）利用等腰三角形的两个底角相等，求出，化简可得

，利用∠ACB＝90°，可证，即：∠A＝2∠PCB.

⑴ 如图，在AB上截取AP＝AC，则点P为所求作的点

∵ AP＝AC

∴ ∠ACP＝∠APC

∵ ∠ACB＝90° ∴ ∠ACP＋∠PCB＝90°

∴ ∠APC＋∠PCB＝90°

⑵ 判断：∠A＝2∠PCB

∵ AC＝AP

∴ 即：,

∵ ∠ACB＝90°

∴ ∠ACP＋∠PCB＝90° 即：∠PCB＝90°－∠ACP

∴

即：∠A＝2∠PCB