Question

如图，OABC是一个放在平面直角坐标系中的矩形，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=3，OC=4，平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线运动的时间为t（秒）．
（1）写出点B的坐标；
（2）t为何值时，MN=AC；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值？并求S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四边形OABC是矩形，可直接根据OA、OC的长写出B点的坐标；
（2）此题要分两种情况考虑：
①M在线段OA上，N在线段OC上时，即0＜t≤3时，若MN=AC，则MN是△OAC的中位线，此时OA=2OM，据此可求出t的值；
②M在线段AB上，N在线段BC上时，即3＜t＜6时，若MN=AC，则MN是△ABC的中位线，设直线m与x轴的交点为D，可证得△AMD≌△BMN，由此可得BN=AD，进而可求出OD的长及t的值；
（3）参照（2）的解题思路，此题也要分作两种情况：
①当0＜t≤3时，M在线段OA上，N在线段OC上；可用t分别表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式；
②当3＜t＜6时，M在线段AB上，N在线段BC上；此时△OMN的面积，可由矩形OABC、△OMD、△OCN的面积差求得；
得出相关的函数解析式后，根据函数的性质及对应的自变量的取值范围，即可求出S的最大值及对应的t的值．
解答：解：（1）点B的坐标是（3，4）；（1分）

（2）当0＜t≤3时，∵MN∥AC，且MN=AC，
∴M是AB的中点；
∴t=1.5秒；
当3＜t＜6时，
设直线m与x轴交点为D，
∵MN∥AC且MN=AC，
∴M为AB的中点；
可证：△AMD≌△BMN；
∴BN=AD=t-3；
∴△BMN∽△BAC；
∴
∴=；
∴t=4.5秒；
当t=1.5秒或t=4.5秒时，MN=AC；（3分）

（3）当0＜t≤3时，OM=t；
由△OMN∽△OAC，得，
∴ON=t，S=t²；（4分）
当3＜t＜6时，
∵OD=t，
∴AD=t-3；
易知四边形ADNC是平行四边形，
∴CN=AD=t-3，BN=6-t；
由△BMN∽△BAC，可得BM=BN=8-t，
∴AM=-4+t；
S=S_矩形OABC-S_Rt△OAM-S_Rt△MBN-S_Rt△NCO
=12-（-4+t）-×（8-t）（6-t）-（t-3）
=-t²+4t；
当0＜t≤3时，
∵抛物线S=t²的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大，
∴当t=3时，S可取到最大值×3²=6．
当3＜t＜6时，
∵抛物线S=-t²+4t的开口向下，它的顶点是（3，6），
∴S＜6；（8分）
综上，当t=3时，S有最大值6．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有矩形的性质、三角形中位线定理、全等三角形及相似三角形的判定和性质、二次函数的应用等．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．