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    （2012•海淀区一模）已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B．
    （1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；
    （2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且S△ABM=3，求点M的坐标；
    （3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D．将抛物线y=x2+bx+c平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由．
    分析：（1）首先求出b的值，然后把b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c求出c的值，抛物线的解析式即可求出；
    （2）首先求出A点的坐标，进而求出直线AB的解析式，设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3），根据三角形面积为3，求出x的值，M点的坐标即可求出；
    （3）由PA=PO，OA=c，可得PD=
    c
    2
    ，又知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P(-
    b
    2
    ，
    4c-b2
    4
    )    ，即可求出b和c的关系，进而得到A（0，
    1
    2
    b2    ），P（-
    1
    2
    b    ，
    1
    4
    b2    ），D（-
    1
    2
    b    ，0），根据B点是直线与抛物线的交点，求出B点的坐标，由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+
    1
    2
    b2    ，再求出b与m之间的关系，再求出C点的坐标，根据两对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合∠AOC=90°即可证明四边形OABC是矩形．
    解答：解：（1）依题意，-
    b
    2×1
    =1    ，
    解得b=-2．
    将b=-2及点B（3，6）的坐标代入抛物线解析式y=x2+bx+c得6=32-2×3+c．
    解得 c=3．
    所以抛物线的解析式为y=x2-2x+3．

    （2）∵抛物线y=x2-2x+3与y轴交于点A，
    ∴A（0，3）．
    ∵B（3，6），
    可得直线AB的解析式为y=x+3．
    设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，x2-2x+3），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N，则N（x，x+3）．（如图1）
    ∴S△ABM=S△AMN+S△BMN=
    1
    2
    MN•|xB-xA|=3    ．
    ∴
    1
    2
    [x+3-(x2-2x+3)]×3=3    ．
    解得 x1=1，x2=2．
    故点M的坐标为（1，2）或 （2，3）．

    （3）如图2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=
    c
    2
    ．
    ∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为 P(-
    b
    2
    ，
    4c-b2
    4
    )    ，
    ∴
    4c-b2
    4
    =
    c
    2
    ．
    ∴b2=2c．
    ∴抛物线y=x2+bx+
    1
    2
    b2    ，A（0，
    1
    2
    b2    ），P（-
    1
    2
    b    ，
    1
    4
    b2    ），D（-
    1
    2
    b    ，0）．
    可得直线OP的解析式为y=-
    1
    2
    bx    ．
    ∵点B是抛物线y=x2+bx+
    1
    2
    b2    与直线y=-
    1
    2
    bx    的图象的交点，
    令 -
    1
    2
    bx=x2+bx+
    1
    2
    b2    ．
    解得x1=-b，x2=-
    b
    2
    ．
    可得点B的坐标为（-b，
    1
    2
    b2    ）．
    由平移后的抛物线经过点A，可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+
    1
    2
    b2    ．
    将点D（-
    1
    2
    b    ，0）的坐标代入y=x2+mx+
    1
    2
    b2    ，得m=
    3
    2
    b    ．
    则平移后的抛物线解析式为y=x2+
    3
    2
    bx+
    1
    2
    b2    ．
    令y=0，即x2+
    3
    2
    bx+
    1
    2
    b2=0    ．
    解得x1=-b，x2=-
    1
    2
    b    ．
    依题意，点C的坐标为（-b，0）．
    则BC=
    1
    2
    b2    ．
    则BC=OA．
    又∵BC∥OA，
    ∴四边形OABC是平行四边形．
    ∵∠AOC=90°，
    ∴四边形OABC是矩形．
    点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识，此题设计抛物线解析式得求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及矩形的判定，特别是第三问设计到平移的知识，同学们作答时需认真，此题难度较大．
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