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把两个正方形纸片在相同的顶点A处钉上一个钉子,然后旋转小正方形AEFG.已知大正方形的边长为4,小正方形的边长为a(a≤2).(以下答案可以用含a的代数式表示)
(1)把小正方形AEFG绕A点旋转,让点F落在正方形ABCD的边AD上得图1,求△BDF的面积S△BDF
(2)把小正方形AEFG绕A点按逆时针方向旋转45°得图2,求图中△BDF的面积S△BDF
(3)把小正方形AEFG绕A点旋转任意角度,在旋转过程中,设△BDF的面积为S△BDF,试求S△BDF的取值范围,并说明理由.

【答案】分析:(1)观察图形,△BDF的面积可由△ABD、ABF的面积差得到,可分别求出△ABD、△ABF的面积,然后作差即可.
(2)思路同(1),△BDF的面积,可由△ABD、梯形AGFD的面积和减去△ABF的面积求得,即可得解.
(3)过F作BD的垂线,设垂足为H,由于BD是定值,△BDF的面积最大,则FH最大,△BDF的面积最小,则FH最小;可据此画出图形,求出两种情况下△FDH的面积,从而得到其取值范围.
解答:解:
(1)S△BDF=S△ABD-S△ABF
∵小正方形的边长为a,
∴AF=a,
∴S△BDF=S△ABD-S△ABF
=4×4×-×4×a=8-2a.

(2)如图1,S△BDF=S△ABD+S梯形AGFD-S△BGF=×4×4+×a(4+a)-×a(4+a)=8.

(3)如图2,作FH⊥BD于H点,连接AF.则S△BDF=×BD×FH,
因为小正方形AEFG绕A点旋转任意角度,所以点F离线段BD的距离是变化的,即FH的长度是变化的.
由于BD得长度是定值,所以当FH取得最大值时S△BDF最大,当FH取得最小值时S△BDF最小.
所以当点F离BD最远时,FH取得最大值,此时点F、A、H在同一条直线上(如图3所示);
当点F离BD最近时,FH取得最小值,此时点F、A、H也在同一条直线上(如图4所示).
在图3中,S△BDF=BD×FH=×4(2+a)=8+4a,
在图4中,S△BDF=BD×FH=×4(2-a)=8-4a,
∴S△BDF的取值范围是:8-4a≤S△BDF≤8+4a.

点评:此题主要考查了正方形的性质、图形面积的求法以及图形的旋转变换,(3)题中,正确地作出辅助线,并判断出△BDF的面积与FH的关系,是解决问题的关键.
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