Question

如图，在△ABC中，点E、D是AB、AC上两点，满足ED∥BC，ED=2，BC=4，点M时ED的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）动点P、Q分别在线段BC、MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先证明△EMB≌△DMC，则∠EBM=∠ECM可以得到：∠EBC=∠DCB，根据等角对等边即可证得△ABC是等腰三角形；
（2）证明△BMP∽△CPQ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得到一个比例式，从而得到y与x之间的函数关系式，根据函数的性质即可求解．

解答：解：（1）由△BMC是等边三角形可知：
∠MBC=∠MCB=60°，BM=MC
又∵ED∥BC，
∴∠EMB=∠MBC；∠DMC=∠MCB
∴∠EMB=∠DMC
又∵点M平分ED，
∴EM=MD
则可证△EMB≌△DMC
∴∠EBM=∠ECM
则可得∠EBC=∠DCB
∴△ABC是等腰三角形．

（2）由∠MPQ=60°，
可得∠BMP=∠CPQ
又∵∠MBP=∠MCP=60°
∴△BMP∽△CPQ
∴

BM

CP

=

BP

CQ

∴

4

x

=

4-x

4-y

∴y=

1

4

x²-x+4
当y取最小值时，x=2=PC
则点P是BC的中点
∴MP⊥BC，而∠MPQ=60°
∴∠PQC=90°，则△PQC为直角三角形．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，正确求得y与x的函数关系式是关键．