Question

“三聚氰胺事件”对奶制品行业影响很大．为应对该事件对行业的冲击，某品牌奶糖生产企业研制出甲、乙两种新配方奶糖，已试销近三个月、已知这两种奶糖的成本价相同，售价也相同（售价不低于成本价）、为了解销售情况，营销人员进行了市场调查，并对某区域的销售数据进行了分析，发现甲、乙两种配方奶糖的日销量Q_甲、Q_乙（千克）与它们的售价x（元/千克）之间均具有一次函数关系，部分数据见右表．又知当售价为25元时，甲种配方奶糖的日销售利润为450元．[注：日销售利润=（销售价-成本价）×日销售量．]

X	…．	25	30	…．
Q甲	…．	90	75	…．
Q乙	…．	85	75	…

（1）根据上述信息，研究人员求出Q_乙=-2x+135．请你求出Q_甲关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）求甲种配方奶糖的日销售利润W_乙（元）关于x的函数解析式；
（3）根据上述信息，试分析当售价为多少元时，该区域甲、乙两种配方奶糖的日销售利润之和最大，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）设Q_甲关于x的函数解析式为Q_甲=kx+b（k≠0）
根据题意当x=25时，Q_甲=90；当x=30时，Q_甲=75
∴25k+b=90
30k+b=75，
解得：k=-3，b=165，
∴Q_甲=-3x+165，
∵当x=25时，甲种奶糖的日销售利润为450元
∴甲种奶糖的成本价为=20（元/千克）
又-3x+165≥0
故x≤55，
∴函数定义域为：20≤x≤55；

（2）由题意，日销售利润=（销售价-成本价）×日销售量
∴w_甲=（x-20）（-3x+165）
=-3x²+225x-3300；

（3）甲、乙两种奶糖日销售利润之和s=w_甲+w_乙
=（x-20）（-3x+165）+（x-20）（-2x+135）
=-5（x-40）²+2000
∴当x=40时，利润之和最大，利润之和为2000元．
分析：（1）根据题意设出函数解析式，由图表数据可求得函数解析式；（2）根据甲种配方奶糖日销售利润=（销售价-成本价）×日销售量，求出解析式；（3）将实际问题转化为求函数最值问题，从而求出最大利润．
点评：此题考查二次函数的性质及其应用，由图表数据求出函数解析式，最后将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题，比较复杂．