Question

【题目】如图，AB=AC，点O在AB上，⊙O过点B，分别与BC、AB交于D、E，过D作DF⊥AC于F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AC与⊙O相切于点G，⊙O的半径为3，CF=1，求AC长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AC=8．

【解析】

（1）连接OD，由AB＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由OB＝OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可确定出DF为圆O的切线；

（2）连接OG，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OG垂直于AC，利用三个角为直角且邻边相等的四边形为正方形得到ODFG为正方形，且边长为3，设AB＝AC＝x，表示出OA与AG，在直角三角形AOG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长．

（1）连接OD，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

则DF为圆O的切线；

（2）连接OG，

∵AC与圆O相切，

∴OG⊥AC，

∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°，且OG=OD，

∴四边形ODFG为边长为3的正方形，

设AB=AC=x，则有AG=x﹣3﹣1=x﹣4，AO=x﹣3，

在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2=AG2+OG2，即（x﹣3）2=（x﹣4）2+32，

解得：x=8，

则AC=8．