Question

【题目】已知，如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．

（1）求证：AE=BE；

（2）求证：FE是⊙O的切线；

（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）⊙O的半径为3；CG=.

【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：

∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；

又∵AC=BC，∴AE=BE．

（2）证明：连接OE，如图2所示：

∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．

又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．

（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FCFB．

设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．

∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴ ，即 ，解得：CG= ．