Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点G在AD上，且GD＝AB＝1，AG＝3，点E是线段BC上的一个动点（点E不与点B、C重合），连接GB、GE，△GBE与△GFE关于直线GE对称，当点F落在直线BC和直线DC上时，则所有满足条件的线段BE的长是_____．

Answer 1

【答案】3或

【解析】

△在矩形ABCD中，点E在线段BC上运动时，△GBE关于直线GE对称的△GFE的顶点F在以点G为圆心，以GB为半径的圆上，圆与矩形的边BC、DC所在直线的交点即为点F，连接GF得等腰三角形，作等腰三角形的高，交BC于点E，根据勾股定理、相似三角形的性质，全等即可求BE的长．

解：如图，

△在矩形ABCD中，点E在线段BC上运动时，

△GBE关于直线GE对称的△GFE的顶点F在以点G为圆心，

以GB为半径的圆上，

圆与矩形的边BC、DC所在直线的交点分别为点F1、F2，

连接GF1、GF2 得等腰三角形BGF1 和等腰三角形BGF2，

作GE1⊥BF1，GM⊥BF2 交BC于点E2，

①∵四边形ABE1G是矩形，

∴BE1＝AG＝3；

②在矩形ABCD中，GD＝AB＝1，AG＝3，

∴BG＝＝，

∴GF2＝，

∵GD＝DC＝1，

∴DF2＝＝3，

∴CF2＝DF2﹣DC＝2，

∴BF2＝＝＝2，

∵GM⊥BF2，

∴BM＝BF2＝，

∵∠BME2＝∠BCF2＝90°，

∠MBE2＝∠CBF2，

∴△BME2∽△BCF2，

∴＝，

即＝，

∴BE2＝．

所以所有满足条件的线段BE的长是3或．

故答案为：3或．