Question

18．已知二次函数y=x²-2ax-2a-6（a为常数，a≠0）．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；
（2）设该二次函数的图象与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线l与x轴交于点D．
①求点D的坐标；
②设点P是抛物线上的一个动点，点Q是直线l上的一个动点．以点B、D、P、Q为顶点的四边形是否可能为平行四边形？若能，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C坐标，
①根据线段垂直平分线的性质，可得DC=DB，根据勾股定理，可得答案；
②根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，解方程，可得答案．

解答 （1）证明：y=x²-2ax-2a-6
      当a≠0时，（-2a）²-4（-2a-6）=4a²+8a+24=4（a+1）²+20
∵4（a+1）²≥0
∴4（a+1）²+20＞0
所以，该函数的图象与x轴总有两个公共点．        
（2）①如图1，
把（-2，0）代入y=x²-2ax-2a-6得a=1
所以，y=x²-2x-8．
当x=0时，y=-8，即C（0，-8），当y时，x²-2x-8=0，解得x=2（不符合题意，舍），x=4，即B（4，0），
B（4，0）、C（0，-8）
∵点D在BC的垂直平分线上
∴DC=DB
设OD=x，则DC=DB=x+4，
在Rt△ODC中  OD²+OC²=DC²，
即x²+8²=（x+4）²，
解得x=6
所以D（-6，0）
②Q₁（$\frac{23}{2}$，-$\frac{35}{4}$）、Q₂（10，-8）、Q₃（-$\frac{25}{2}$，$\frac{13}{4}$）、Q₄（$\frac{1}{2}$，-$\frac{13}{4}$）．
设BC的中点为E，则点E （2，-4），
直线l的函数关系式为y=-$\frac{1}{2}$x-3，
以点B、D、P、Q为顶点的四边形分以下两种情况讨论
第一种情况：当DB为四边形的边时，如图2，
当PQ∥DB且PQ=DB时，四边形DPQB为平行四边形，
若PQ在x轴下方时，设点Q（m，-$\frac{1}{2}$m-3）则P（m-10，-$\frac{1}{2}$m-3），
因为点P在抛物线上，所以-$\frac{1}{2}$m-3=（m-10）²-2（m-10）-8．
解得m₁=$\frac{23}{2}$，m₂=10
所以Q₁（$\frac{23}{2}$，-$\frac{35}{4}$）、Q₂（10，-8）
若PQ在x轴上方时，设点Q（m，-$\frac{1}{2}$m-3）则P（m+10，-$\frac{1}{2}$m-3）
因为点P在抛物线上，所以-$\frac{1}{2}$m-3=（m+10）²-2（m+10）-8．
解得m₁=-$\frac{25}{2}$，m₂=-6（舍去）
所以Q₃（-$\frac{25}{2}$，$\frac{13}{4}$）
第二种情况：当DB为四边形的对角线时
当DQ₄∥PB且DQ₄=PB时，四边形D Q₄BP为平行四边形
此时可发现DQ₄=PB=DQ₃，即D为Q₃Q₄的中点
所以，可求出Q₄点（$\frac{1}{2}$，-$\frac{13}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用根的判别式是解题关键；利用勾股定理得出关于m的方程是解题关键，利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程是解题关键．