Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1分别交x轴，y轴于点A，B，过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交轴于点x E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F．已知点A恰好是线段EC的中点，那么线段EF的长是

 

．

Answer 1

分析：根据解析式确定A、B两点的坐标，利用直角三角形和射影定理，最后用中位线定理计算出结果．

解答：解：因为AB的解析式为y=kx+1，所以B点坐标为（0，1），A点坐标为（-

1

k

，0），
由于图象过一、二、三象限，故k＞0，
又因为BC⊥AB，BO⊥AC，
所以在Rt△ABC中，BO²=AO•CO，代入数值为：1=

1

k

•CO，CO=k，
同理，在Rt△BCD中，CO²=BO•DO，
代入数值为：k²=1•DO，DO=k²又因为A恰好是线段EC的中点，所以B为FD的中点，OF=1+1+k²，Rt△FED中，
根据射影定理，EO²=DO•OF，即（k+

1

k

+

1

k

）²=k²•（1+k²+1），
整理得（k-

2

）（k+

2

）（k²+2）（k²+1）=0，解得k=

2

．
根据中位线定理，EF=2GB=2DC，DC=

( 2 )2+(( 2 )2)2

=

6

，EF=2

6

．

点评：根据图中的直角三角形的特点，多次利用射影定理，用未知数k表示出各边长并建立起关于k的方程，再利用中位线定理解答．