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已知:如图,⊙O1和⊙O2外切于点A,直线BD切⊙O1于点B,交⊙O2于点C、D,直线DA交⊙精英家教网O1于点E.
(1)求证:∠BAC=∠ABC+∠D;
(2)求证:AB2=AC•AE.
分析:(1)过A点作⊙O1和⊙O2的公切线AM,利用弦切角定理可得∠MAC=∠D,又MA、MB都是⊙O1的切线,就有MA=MB,故∠ABC=∠BAM,等量代换可证;
(2)连接BE,利用弦切角定理,可得∠E=∠ABC,利用三角形外角性质、结合(1)的结论可证∠EAB=∠BAC,那么可证△ABE∽△ACB,可得比例线段,从而得证.
解答:精英家教网证明:(1)过A点作⊙O1和⊙O2的公切线AM,(1分)
则∠MAC=∠D,
∵CB是⊙O1的切线,
∴∠ABC=∠BAM,
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=∠ABC+∠D;(4分)

(2)连接BE,(5分)
则∠E=∠ABC,
又∵∠EAB=∠ABD+∠D=∠BAC,
∴△ABE∽△ACB,
AE
AB
=
AB
AC

即AB2=AC•AE. (8分)
点评:本题关键是作两圆的公切线;主要利用了弦切角定理、相似三角形的判定和性质等知识.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,经过A的直线CD与⊙O1交于点C、与⊙O2交于点D,经过点B的直线EF与⊙O1交于点E、与⊙O2交于点F,连接CE、DF.若∠AO1E=100°,则∠D的度数为
 
度.

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20、已知:如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,动点P在⊙O2上,且在⊙1外,直线PA、PB分别交⊙O1于C、D,问:⊙O1的弦CD的长是否随点P的运动而发生变化?如果发生变化,请你确定CD最长和最短时P的位置,如果不发生变化,请你给出证明.

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已知:如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,过B点作⊙O1的切线交⊙O2于D点,连接DA并延精英家教网长⊙O1相交于C点,连接BC,过A点作AE∥BC与⊙O相交于E点,与BD相交于F点.
(1)求证:EF•BC=DE•AC;
(2)若AD=3,AC=1,AF=
3
,求EF的长.

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(2001•黄冈)已知,如图,⊙O1和⊙O2内切于点P,过点P的直线交⊙O1于点D,交⊙O2于点E;DA与⊙O2相切,切点为C.
(1)求证:PC平分∠APD;
(2)PE=3,PA=6,求PC的长.

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