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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA=3，AB=5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着精英家教网P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
    （1）求直线AB的解析式；
    （2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；
    （3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题：
    ①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
    ②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．
    分析：（1）首先由在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，求得OB的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
    （2）过点Q作QF⊥AO于点F，由△AQF∽△ABO，根据相似三角形的对应边成比例，借助于方程即可求得QF的长，然后即可求得△APQ的面积S与t之间的函数关系式；
    （3）①分别从DE∥QB与PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t的值；
    ②根据题意可知即OP=OQ时，则列方程即可求得t的值．
    解答：精英家教网解：（1）在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，由勾股定理得OB=
    		AB2-OA2
    =4．
    ∴A（3，0），B（0，4）．
    设直线AB的解析式为y=kx+b．
    ∴
    3k+b=0
    b=4.
    解得
    k=-
    4
    3
    b=4.

    ∴直线AB的解析式为y=-
    4
    3
    x+4    ；

    （2）如图1，过点Q作QF⊥AO于点F．
    ∵AQ=OP=t，∴AP=3-t．
    由△AQF∽△ABO，得
    QF
    BO
    =
    AQ
    AB
    ．
    ∴
    QF
    4
    =
    t
    5
    ．
    ∴QF=
    4
    5
    t，
    ∴S=
    1
    2
    （3-t）•
    4
    5
    t，
    ∴S=-
    2
    5
    t2+
    6
    5
    t；
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    （3）四边形QBED能成为直角梯形．
    ①如图2，当DE∥QB时，
    ∵DE⊥PQ，
    ∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
    此时∠AQP=90°．
    由△APQ∽△ABO，得
    AQ
    AO
    =
    AP
    AB
    ．
    ∴
    t
    3
    =
    3-t
    5
    ．
    解得t=
    9
    8
    ；
    如图3，当PQ∥BO时，
    精英家教网∵DE⊥PQ，
    ∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
    此时∠APQ=90°．
    由△AQP∽△ABO，得
    AQ
    AB
    =
    AP
    AO
    ．
    即
    t
    5
    =
    3-t
    3
    ．
    3t=5（3-t），
    3t=15-5t，
    8t=15，
    解得t=
    15
    8
    ；
    （当P从A向0运动的过程中还有两个，但不合题意舍去）

    ②当DE经过点O时，
    ∵DE垂直平分PQ，
    ∴EP=EQ=t，
    由于P与Q相同的时间和速度，
    ∴AQ=EQ=EP=t，
    ∴∠AEQ=∠EAQ，
    ∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°，
    ∴∠BEQ=∠EBQ，
    ∴BQ=EQ，
    ∴EQ=AQ=BQ=
    1
    2
    AB
     所以t=
    5
    2
    ，
    当P从A向O运动时，
    过点Q作QF⊥OB于F，
    EP=6-t，精英家教网
    即EQ=EP=6-t，
    AQ=t，BQ=5-t，
    ∴FQ=
    3
    5
    （5-t）=3-
    3
    5
    t，BF=
    4
    5
    （5-t）=4-
    4
    5
    t，
    ∴EF=4-BF=
    4
    5
    t，
    ∵EF2+FQ2=EQ2，
    即（3-
    3
    5
    t）2+（
    4
    5
    t）2=（6-t）2，
    解得：t=
    45
    14
    ．
    ∴当DE经过点O时，t=
    5
    2
    或
    45
    14
    ．
    点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质等知识的应用．此题综合性较强，注意数形结合与方程思想的应用．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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