Question

10．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-$\sqrt{3}$，0），B（3$\sqrt{3}$，0），C（0，-3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D，设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设Q是平面内一点，若以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等，求出所有点Q的坐标；
（3）若满足（2）中条件的点Q均在抛物线y=9（x-t）²-7外（不含点Q在抛物线上），求点t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为y=a（x+$\sqrt{3}$）（x-3$\sqrt{3}$），把C（0，-3）代入即可解决问题．
（2）点Q位置存在4种情况；分类讨论①∠QCD=120°，QC=AD；②∠QCD=120°，QC=AD；③∠QDC=120°，QD=AD；④∠QDC=120°，QD=AD；即可解题．
（3）把（2）中的点Q坐标代入求出t的值即可判断．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+$\sqrt{3}$）（x-3$\sqrt{3}$），把C（0，-3）代入得a=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x²-2$\sqrt{3}$x-9）=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x-3
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x-3．

（2）如图所示，

点Q位置存在4种情况；
连接AC，
∵tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$，tan∠OBC=$\frac{OC}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OAC=60°，∠OBC=30°，
∴∠OCB=60°，
∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA=30°，
∴∠ADC=∠DAB+∠DBA=60°，
∵AE=2$\sqrt{3}$，DE=2，D（$\sqrt{3}$，4），
∴DP=2，CD=CB-BD=6-4=2，
∴CD=DP，∵∠CDP=60°，

∴△CDP是等边三角形，
①当∠Q₁CD=120°，QC=AD=4时，△Q₁CD≌△ADP，
此时Q点在y轴上，则点Q₁坐标（0，-7）；
②当∠Q₂DC=120°，Q₂D=AD=4时，△Q₂DC≌△ADP
此时Q₂在对称轴上，Q₂（$\sqrt{3}$，2）；
③当∠Q₃DC=120°，DQ₃=AD=4时，△Q₃DC≌△ADP，
此时Q₂，Q₃关于BC对称，Q₃（3$\sqrt{3}$，-4）；
④当∠Q₄CD=120°，Q₄C=AD=4时，△Q₄CD≌△ADP，
此时Q₄，Q₁关于BC对称，Q₄（-2$\sqrt{3}$，-1）；

（3）①点Q₁坐标（0，-7）代入y=9（x-t）²-7得到t=0；
②点Q₁坐标（$\sqrt{3}$，2）代入y=9（x-t）²-7得到t=$\sqrt{3}$±1
③点Q₁坐标（3$\sqrt{3}$，-4代入y=9（x-t）²-7得到t=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$
④点Q₁坐标（-2$\sqrt{3}$，-1）；代入y=9（x-t）²-7得到t=-2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{6}}{3}$或-2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
综上所述，点Q均在抛物线y=9（x-t）²-7外时，t≠0，t$≠\sqrt{3}±1$，t≠$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，t≠$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，t≠-2$\sqrt{3}±\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了特殊角的三角函数值，考查了三角函数在直角三角形中运用，本题考查了分类讨论思想，本题中根据全等三角形对应边相等性质求解是解题的关键，属于中考压轴题．