Question

如图，抛物线y＝－x²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3．

(1)求抛物线所对应的函数解析式；

(2)求△ABD的面积；

(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．

Answer 1

考点：

二次函数综合题。

专题：

代数几何综合题。

分析：

(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式．

(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积．

(3)首先根据旋转条件求出G点的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可．

解答：

解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，

∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．

把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c中，

得，

解得，

∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3；

(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)，

∴△ABD中AB边的高为4，

令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

所以AB＝3－(－1)＝4，

∴△ABD的面积＝×4×4＝8；

(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由(2)可知OA＝1，

∴点A对应点G的坐标为(3，2)，

当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，所以点G不在该抛物线上．

点评：

这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中．