Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与直线y=x交于点A，点B在直线上，∠BOA=90°．抛物线过点A，O，B，顶点为点E．

（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由直线与直线y=x交于点A，得
，解得，。
∴点A的坐标是（3，3）。
∵∠BOA=90°，∴OB⊥OA。
∴直线OB的解析式为y=﹣x。
又∵点B在直线上，∴，解得，。
∴点B的坐标是（﹣1，1）。
综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）。
（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1），
∵抛物线过点A，O，B，
∴，解得，。
∴该抛物线的解析式为。
∵，∴顶点E的坐标是（，）。
（3）OD与CF平行。理由如下：
由（2）知，抛物线的对称轴是x=。
∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，∴C（，）。
设直线BC的表达式为，把B（﹣1，1），C（，）代入，得
，解得，。
∴直线BC的解析式为。
∵直线BC与抛物线交于点B、D，∴，解得，x₁=，x₂=﹣1．。
把x₁=代入，得y₁=，∴点D的坐标是（，）。
如图，作DN⊥x轴于点N，

则
∵FE∥x轴，点E的坐标为（，），
∴点F的纵坐标是。
把y=代入，得x=，
∴点F的坐标是（，），
∴EF=。
∵CE=，∴。
∴∠CFE=∠DON。
又∵FE∥x轴，∴∠CMN=∠CFE。∴∠CMN=∠DON。
∴OD∥CF，即OD与CF平行。

试题分析：（1）由直线与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可。
（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式。
（3）如图，作DN⊥x轴于点N，欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可。