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如图所示,OM是一堵高为2.5米的围墙截面的高,小明在围墙内投篮,篮球从点A处投出,却投到了篮球框外,正好打在了斜靠在围墙上的一根竹竿CD的点B处,篮球经过的路线是二次函数y=ax2+bx+4图象的一部分.现以O为原点,垂直于OM的水平线为x轴,OM所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,如果篮球不被竹竿挡住,篮球将通过围墙外的点E,点E的坐标为(-3,),点B和点E关于此二次函数图象的对称轴对称,若tan∠OCM=1.(围墙的厚度忽略不计,围墙内外水平面高度一样)
(1)求竹竿CD所在的直线的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)在围墙外距围墙底部O点5.5米处有一个大池塘,如果篮球投出后不被竹竿挡住,篮球会不会直接落入池塘?请说明理由.

【答案】分析:(1)由tan∠OCM=1,可以得出OM=OC=2.5,可以求出点C点M的坐标,利用待定系数法久可以求出直线CD的解析式.
(2)由点B和点E关于二次函数图象的对称轴对称就可以求出点B的纵坐标与点E的纵坐标相同,从而可以求出点B的坐标.
(3)由条件求出抛物线的解析式,再将求出抛物线与x轴的交点,从而判断是否可以落入池塘.
解答:解:(1)∵tan∠OCM=1,∴OM=OC=2.5,
∴C、M的坐标分别为C(-2.5,0),M(0,2.5).
设直线CD的解析式为y=kx+b.

解之得:
∴直线CD的解析式为y=x+2.5;

(2)∵点B和点E(-3,) 关于此二次函数的对称轴对称.
∴点B的纵坐标为
∵点B在直线CD上
∴x+2.5=
∴x=1,
∴点B坐标是(1,);

(3)∵点B(1,),E(-3,)是函数y=ax2+bx+4图象上的两点.

解之得
∴二次函数的解析式为
当y=0时,
解之得x1=4,x2=-6,
∴抛物线与x轴的交点分别为(4,0),(-6,0),
∵点(4,0)在围墙内,点(-6,0)在围墙外.
且|-6|>5.5,
∴篮球会直接落入池塘.
点评:本题是一道二次函数的综合试题,考查了运营待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的解析式,锐角三角函数的运用.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2010•贺州)如图所示,OM是一堵高为2.5米的围墙截面的高,小明在围墙内投篮,篮球从点A处投出,却投到了篮球框外,正好打在了斜靠在围墙上的一根竹竿CD的点B处,篮球经过的路线是二次函数y=ax2+bx+4图象的一部分.现以O为原点,垂直于OM的水平线为x轴,OM所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,如果篮球不被竹竿挡住,篮球将通过围墙外的点E,点E的坐标为(-3,
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),点B和点E关于此二次函数图象的对称轴对称,若tan∠OCM=1.(围墙的厚度忽略不计,围墙内外水平面高度一样)
(1)求竹竿CD所在的直线的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)在围墙外距围墙底部O点5.5米处有一个大池塘,如果篮球投出后不被竹竿挡住,篮球会不会直接落入池塘?请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

OM是一堵高为2.5米的围墙的截面,小鹏从围墙外的A点向围墙内抛沙包,但沙包抛出后正好打在了横靠在围墙上的竹竿CD的B点处,经过的路线是二次函数图像的一部分,如果沙包不被竹竿挡住,将通过围墙内的E点,现以O为原点,单位长度为1,建立如图所示的平面直角坐标系,E点的坐标(3,),点B和点E关于此二次函数的对称轴对称,若tan∠OCM=1(围墙厚度忽略不计)。 

(1)求CD所在直线的函数表达式;

(2)求B点的坐标;

(3)如果沙包抛出后不被竹竿挡住,会落在围墙内距围墙多远的地方?

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科目:初中数学 来源:2010年广西贺州市中考数学试卷(解析版) 题型:解答题

如图所示,OM是一堵高为2.5米的围墙截面的高,小明在围墙内投篮,篮球从点A处投出,却投到了篮球框外,正好打在了斜靠在围墙上的一根竹竿CD的点B处,篮球经过的路线是二次函数y=ax2+bx+4图象的一部分.现以O为原点,垂直于OM的水平线为x轴,OM所在的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,如果篮球不被竹竿挡住,篮球将通过围墙外的点E,点E的坐标为(-3,),点B和点E关于此二次函数图象的对称轴对称,若tan∠OCM=1.(围墙的厚度忽略不计,围墙内外水平面高度一样)
(1)求竹竿CD所在的直线的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)在围墙外距围墙底部O点5.5米处有一个大池塘,如果篮球投出后不被竹竿挡住,篮球会不会直接落入池塘?请说明理由.

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