Question

5．【回顾】我们学习了三角形的全等，知道了判定两个三角形全等的基本事实有“SAS”、“ASA”、“SSS”，以及由基本事实得到的推论“AAS，我们还得到一个定理“HL”，下面对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【思考】
我们将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【探究】

（1）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC与DEF．是否全等？全等，如图①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．如图②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠ABC=∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是钝角，求证：△ABC≌△DEF（请你继续完成证明过程）．
证明：如图，过C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过F作FH⊥DE交DE的延长线于点H，
（3）第三种情况：当∠B是锐角时，即在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角．△ABC和△DEF是否全等，请你用尺规在图③中作出△DEF，直接写出你的结论．
（不写作法，保留作图痕迹）

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形全等的判定定理“HL”即可得到结论；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于点H，先证明△CBG≌△FEH，得出CG=FH，再证明Rt△ACG≌Rt△DFH，得出∠A=∠D，再由AAS即可证出△ABC≌△DEF；
（3）以C为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D；则DF=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等．

解答 解：（1）答：全等；在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据“HL“，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF；
故答案为：全等，HL，Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）证明：∵∠B=∠E，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠FEH}\\{∠G=∠H=90°}\\{BC=EF}\end{array}\right.$，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DF}\\{CG=FH}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}\\{∠B=∠E}\\{AC=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
（3）第三种情况：如图所示：
以C为圆心，AC长为半径画弧，交AB于D；
则DF=AC，△DEF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．