Question

【题目】如图，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm.若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动，当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动.设点P、Q同时出发，并运动了t秒，

(1)直角梯形ABCD的BC为_____cm，周长为______cm.

(2)当t为多少时，四边形PQCD成为平行四边形？

(3)是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)12，32；(2)t＝；(3)存在，t＝秒，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC.

【解析】

(1)过点D作DE⊥BC于E，证出四边形ABED是矩形，根据矩形的对边相等求出DE、BE，再利用勾股定理求出CE，求出BC，即可得出周长；

(2)表示出PD、CQ，然后根据DP＝CQ列出方程，然后求解即可；

(3)由面积法求出PQ＝3t，由勾股定理求出CP＝4t，由题意得出方程，解方程即可.

(1)如图1所示，过点D作DE⊥BC于E，

∵∠B＝90°，AD∥BC，

∴四边形ABED是矩形，

∴DE＝AB＝6cm，BE＝AD＝4cm，

由勾股定理得， (cm)，

∴BC＝BE+CE＝4+8＝12cm，

∴直角梯形的周长＝AD+AB+BC+DC＝4+6+12+10＝32(cm)；

故答案为：12，32；

(2)由题意得：AP＝4t，CQ＝5t，

∴DP＝AD﹣AP＝4﹣4t，

∵DP∥CQ，

∴当DP＝CQ时，四边形PQCD成为平行四边形，

则4﹣4t＝5t，

解得：t＝；

即t为秒时，四边形PQCD成为平行四边形；

(3)存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC，理由如下：

作DE⊥BC于E，连接DQ，如图2所示：

∵点P在CD上，

∴CP＝14﹣4t，

∵PQ⊥CD，DE⊥BC，

∴，

∴，

在Rt△PCQ中，由勾股定理得：，

∴，

解得：t＝

此时，，

∴存在t＝秒，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC.