Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足是E． 
（1）证明：AE=AC； 
（2）连接CE，问AD与CE垂直吗？说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质得到DC=DE，然后根据“HL”可证得Rt△ACD≌Rt△AED，即可得到AC=AE；
（2）由Rt△ACD≌Rt△AED得到∠CAD=∠EAD，AE=AC，根据等呀哦三角形的判定方法得到△AEC为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可得到AF⊥EC．

解答：证明 （1）∵∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，
∴DC=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中

DC=DE AD=AD

，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE；
（2）AD与CE垂直．理由如下：
AD与CE相交于F，如图，
∵Rt△ACD≌Rt△AED，
∴∠CAD=∠EAD，AE=AC，
∴AF为等腰三角形AEC顶点的平分线，
∴AF⊥EC，
即AD与CE垂直．

点评：本题考查了直角全等三角形的判定与性质：有一组直角边和一组斜边对应相等的两个直角三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了角平分线定理以及等腰三角形的判定与性质．