Question

如图，在?ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上．
（1）若DE∥BF，则CF与AE相等吗？请说明理由；
（2）若将问题（1）中的条件“DE∥BF”改为“AE=CF”，则DE与BF有怎样的位置关系和数量关系？请说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质

专题：

分析：利用平行四边形的性质判定AB∥CD，AB=CD．
（1）若DE∥BF，则根据“有两组对边相互平行的四边形是平行四边形”推知四边形DEBF为平行四边形，则其对边相等：DF=EB，所以CD-DF=AB-BE，即CF=AE；
（2）若AE=CF，则BE=DF，根据“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”推知四边形DEBF为平行四边形，则其对边相等且平行：DE∥BF且DE=BF．

解答：解：如图，在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
（1）CF与AE相等．理由如下：
∵AB∥CD，
∴BE∥FD．
又DE∥BF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DF=EB，
∴CD-DF=AB-BE，即CF=AE；

（2）DE∥BF且DE=BF．理由如下：
∵AB∥CD，
∴BE∥FD．
又∵AB=CD，AE=CF，
∴AB-AE=DC-CF，即EB=DF，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF且DE=BF．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．