Question

△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．
（1）求证：DM=

1

2

（AC-AB）；
（2）若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的长．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长BD交AC于E，证△BAD≌△EAD，推出AB=AE，BD=DE，根据三角形的中位线性质得出DM=

1

2

CE即可；
（2）根据勾股定理求出AB，求出AE，根据三角形的中位线求出CE，即可得出答案．

解答：（1）证明：延长BD交AC于E，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
在△BAD和△EAD中，

∠BAD=∠EAD AD=AD ∠ADB=∠ADE

，
∴△BAD≌△EAD（SAS），
∴AB=AE，BD=DE，
∵M为BC的中点，
∴DM=

1

2

CE=

1

2

（AC-AB）；

（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AD=6，BD=8，
∴由勾股定理得：AE=AB=

62+82

=10，
∵DM=2，DM=

1

2

CE，
∴CE=4，
∴AC=10+4=14．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的中位线，勾股定理的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△EAD，题目比较好，难度适中．