Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点.

（1）若是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，点为抛物线对称轴上的一点，求的最小值

（3）连接，在直线下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最小值为；（3）的面积最大为，此时的坐标为.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到OB=OC=3，则C（0，3），B（3，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）连接BC交直线l于P，如图，根据两点之间线段最短可判断此时PC+PA的值最小，然后根据等腰直角三角形的性质计算出BC即可；

（3）设的坐标为，作MN∥y轴，交直线BC与点N，则的坐标为，表示出MN的长，进而表示出的面积，然后根据二次函数的性质解答即可.

解：（1）∵是等腰直角三角形，且其腰长为3，

即，

∴，，

把，分别代入得，

解得，

∴抛物线解析式为；

（2）连接交直线于，如图，则，

∵，

∴此时的值最小，而，

∴的最小值为.

（3）设的坐标为，作MN∥y轴，交直线BC与点N，

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

把，分别代入，得

，

∴ ，

∴y=-x+3，

∴的坐标为，

∴，

∴

=，

∴时，的面积最大为，

∴.

∴的坐标为.