Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D是AB的中点，M是边AC上一点，连接DM，以DM为直角边作等腰直角三角形DME，斜边DE交线段CM于点F，若S△MDF=2S△MEF，则CM的长为_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，则∠DGM=∠MHE=90°，DG∥BC，由勾股定理得出BC=6，证出DG是△ABC的中位线，得出DG=BC=3，AG=CG=AC=4，证明△MDG≌△EMH（ASA），得出MG=EH，由三角形面积关系得出DG=2EH=3，得出MG=EH=，求出AM=AG-MG=，即可得出答案．

作DG⊥AC于G，EH⊥AC于H，如图所示：

则∠DGM=∠MHE=90°，DG∥BC，

∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，

∴BC==6，

∵DG∥BC，D是AB的中点，

∴DG是△ABC的中位线，

∴DG=BC=3，AG=CG=AC=4，

∵△DME是等腰直角三角形，

∴∠DME=90°，DM=ME，

∵∠DMG+∠GDM=∠DMG+∠EMH=90°，

∴∠GDM=∠EMH，

在△MDG和△EMH中，

，

∴△MDG≌△EMH（ASA），

∴MG=EH，

∵S△MDF=2S△MEF，

∴DG=2EH=3，

∴MG=EH=，

∴AM=AG-MG=4-=，

∴CM=AC-AM=8-=；

故答案为：．