分析 (1)把点A(1,0)、B(4,0)两点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;
(2)用m的代数式表示点M、N的坐标,求出MN,根据MN=OC,列出方程即可解决问题.
(3)分两种情况分别讨论①当∠BQM=90°时,如图2,设M(a,b),由△MQB∽△COB,得$\frac{BM}{BC}$=$\frac{MQ}{OC}$,列出方程即可.②当∠QMB=90°时,如图3,设CM=MQ=m,则BM=5-m,由△BMQ∽△BOC,可得 $\frac{m}{3}$=$\frac{5-m}{4}$,解方程即可.
解答 解:(1)由已知得 $\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{16a+4b+3=0}\end{array}\right.$,
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{15}{4}}\end{array}\right.$.
所以,抛物线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x2-$\frac{15}{4}$x+3.
(2)如图1中,
∵B(4,0)、C(0,3),
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3,
∵P(m,0),
∴M(m,-$\frac{3}{4}m$+3),N(m,$\frac{3}{4}$m2-$\frac{15}{4}$m+3),
∴MN=$\frac{3}{4}$m2-$\frac{15}{4}$m+3-(-$\frac{3}{4}$m+3)=$\frac{3}{4}$m2-3m,
∵MN∥OC,
∴当MN=OC时,四边形MNOC是平行四边形,
∴$\frac{3}{4}$m2-3m=2,
∴m=$\frac{8±2\sqrt{15}}{3}$.
(3)①当∠BQM=90°时,如图2,设M(a,b),
∵∠CMQ>90°,
∴只能CM=MQ=b,
∵MQ∥y轴,
∴△MQB∽△COB,
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{MQ}{OC}$,即 $\frac{5-b}{3}$=$\frac{b}{3}$,解得b=$\frac{15}{8}$,代入y=-$\frac{3}{4}$x+3得 $\frac{15}{8}$=-$\frac{3}{4}$ a+3,解得a=$\frac{3}{2}$,
∴M( $\frac{3}{2}$,$\frac{15}{8}$);
②当∠QMB=90°时,如图3,
∵∠CMQ=90°,
∴只能CM=MQ,
设CM=MQ=m,
∴BM=5-m,
∵∠BMQ=∠COB=90°,∠MBQ=∠OBC,
∴△BMQ∽△BOC,
∴$\frac{m}{3}$=$\frac{5-m}{4}$,解得m=$\frac{15}{7}$,
作MN∥OB,
∴$\frac{MN}{OB}$=$\frac{CN}{OC}$=$\frac{CM}{BC}$,即 $\frac{MN}{4}$=$\frac{CN}{3}$=$\frac{15}{7}$,
∴MN=$\frac{12}{7}$,CN=$\frac{9}{7}$,
∴ON=OC-CN=3-$\frac{9}{7}$=$\frac{12}{7}$,
∴M( $\frac{12}{7}$,$\frac{12}{7}$).
综上,在线段BC上存在这样的点M,使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形,点M的坐标为( $\frac{3}{2}$,$\frac{15}{8}$)或( $\frac{12}{7}$,$\frac{12}{7}$).
点评 本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,平行四边形的判定和性质,等腰三角形的性质等;解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数,构建方程解决问题,属于中考压轴题.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 一、三 | B. | 二、四 | C. | 一、四 | D. | 二、三 |
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com