Question

14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AD的中点，连接BE，过点C作CF⊥BE交BE于点F，将△FBC绕F顺时针旋转得△FGH，使得点G落到线段AB上，连接DH交BE于点M，则DM的长度是$\frac{4}{11}$$\sqrt{89}$．

Answer 1

分析 连接BH．设AB与FH交于点O．首先证明∠GBH=90°，推出BH∥DE，推出$\frac{DM}{NH}$=$\frac{DE}{BH}$，想办法求出BH、DH即可解决问题．

解答 解：连接BH．设AB与FH交于点O．

∵∠1=∠2，∠1+∠EBC=90°，∠4+∠EBC=90°，
∴∠1=∠4=∠2，
∵FG=FB，
∴∠3=∠4，
∴∠4=∠2，
∵∠FOB=∠GOH，∠4=∠2，
∴△FOB∽△GOH，
∴$\frac{OF}{OG}$=$\frac{OB}{OH}$，
∴$\frac{OF}{OB}$=$\frac{OG}{OH}$，∵∠FOG=∠BOH，
∴△FOG∽△BOH，
∴∠OBH=∠OFG=90°，
∵∠ABC=90°，
∴H、B、C共线，
∴DE∥BH，
∴$\frac{DM}{NH}$=$\frac{DE}{BH}$，
易知BC=GH=4，BF=FG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，GB=$\frac{16}{5}$，
在Rt△GBH中，BH=$\sqrt{G{H}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{16}{5}）^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
在Rt△DCH中，DN=$\sqrt{D{C}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{32}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{89}$，
∴$\frac{DM}{MH}$=$\frac{2}{\frac{12}{5}}$=$\frac{5}{6}$，
∴DM=$\frac{5}{11}$•DH=$\frac{4}{11}$$\sqrt{89}$．

点评 本题考查旋转变换、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．