Question

14．观察下列等式：①$\frac{1}{1×2×3}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$；②$\frac{1}{2×3×4}$=$\frac{3}{8}$-$\frac{1}{3}$；③$\frac{1}{3×4×5}$=$\frac{4}{15}$-$\frac{1}{4}$，…按照此规律，解决下列问题：
（1）完成第④个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．

Answer 1

分析 （1）观察给定①②③三个等式，找出等式中各分式之间的关系，利用该关系写出第4个等式；
（2）结合（1）找出规律“第n个等式为：$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+1}{n（n+2）}-\frac{1}{n+1}$”，利用通分合并同类项等方式来证明结论成立．

解答 解：（1）观察发现：①1×2×3中，1×3=3，剩个2；②2×3×4中，2×4=8，剩个3；③3×4×5中，3×5=15，剩下个4，
∴④应该为：$\frac{1}{4×5×6}$=$\frac{5}{4×6}-\frac{1}{5}$=$\frac{5}{24}-\frac{1}{5}$．
（2）结合（1）故猜想：
第n个等式为：$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+1}{n（n+2）}-\frac{1}{n+1}$．
证明：等式右边=$\frac{n+1}{n（n+2）}-\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+1）（n+2）}-\frac{n（n+2）}{n（n+1）（n+2）}$，
=$\frac{{n}^{2}+2n+1-{n}^{2}-2n}{n（n+1）（n+2）}$，
=$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=左边，
∴等式成立，即猜想正确

点评 本题考查了规律型中数的变化类依据分式的运算，解题的关键是：（1）分析等式中各分式间的关系；（2）找出规律“第n个等式为$\frac{1}{n（n+1）（n+2）}$=$\frac{n+1}{n（n+2）}-\frac{1}{n+1}$”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定等式的变化找出变化规律是关键．