分析 (1)观察给定①②③三个等式,找出等式中各分式之间的关系,利用该关系写出第4个等式;
(2)结合(1)找出规律“第n个等式为:$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$=$\frac{n+1}{n(n+2)}-\frac{1}{n+1}$”,利用通分合并同类项等方式来证明结论成立.
解答 解:(1)观察发现:①1×2×3中,1×3=3,剩个2;②2×3×4中,2×4=8,剩个3;③3×4×5中,3×5=15,剩下个4,
∴④应该为:$\frac{1}{4×5×6}$=$\frac{5}{4×6}-\frac{1}{5}$=$\frac{5}{24}-\frac{1}{5}$.
(2)结合(1)故猜想:
第n个等式为:$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$=$\frac{n+1}{n(n+2)}-\frac{1}{n+1}$.
证明:等式右边=$\frac{n+1}{n(n+2)}-\frac{1}{n+1}$,
=$\frac{(n+1)^{2}}{n(n+1)(n+2)}-\frac{n(n+2)}{n(n+1)(n+2)}$,
=$\frac{{n}^{2}+2n+1-{n}^{2}-2n}{n(n+1)(n+2)}$,
=$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$=左边,
∴等式成立,即猜想正确
点评 本题考查了规律型中数的变化类依据分式的运算,解题的关键是:(1)分析等式中各分式间的关系;(2)找出规律“第n个等式为$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$=$\frac{n+1}{n(n+2)}-\frac{1}{n+1}$”.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据给定等式的变化找出变化规律是关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{12}{5}$ | B. | $\frac{24}{5}$ | C. | 12 | D. | 24 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4 | B. | $\frac{17}{4}$ | C. | $\frac{9}{2}$ | D. | 5 |
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