Question

12．如图，直线y=-x-4与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，B两点，其中A，B两点的横坐标分别为-1和-4，且抛物线过原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点P是线段AB上不与A，B重合的动点，过点P作PE∥OA，与抛物线第三象限的部分交于一点E，过点E作EG⊥x轴于点G，交AB于点F，若S_△BGF=3S_△EFP，求$\frac{EF}{GF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可分别求得A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当AB=AC时，点C在y轴上，可表示出AC的长度，可求得其坐标；当AB=BC时，可知点C在x轴上，可表示出BC的长度，可求得其坐标；当AC=BC时点C在线段AB的垂直平分线与坐标轴的交点处，可求得线段AB的中点的坐标，可求得垂直平分线的解析式，则可求得C点坐标；
（3）过点P作PQ⊥EF，交EF于点Q，过点A作AD⊥x轴于点D，可证明△PQE∽△ODA，可求得EQ=3PQ，再结合F点在直线AB上，可求得FQ=PQ，则可求得EF=4PQ，利用三角形的面积的关系可求得GF与PQ的关系，则可求得比值．

解答 解：
（1）∵A，B两点在直线y=-x-4上，且横坐标分别为-1、-4，
∴A（-1，-3），B（-4，0），
∵抛物线过原点，
∴c=0，
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{-3=a-b}\\{0=16a-4b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²+4x；
（2）∵△ABC为等腰三角形，
∴有AB=AC、AB=BC和CA=CB三种情况，
①当AB=AC时，当点C在y轴上，设C（0，y），
则AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{1+（y+3）^{2}}$，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{1+（y+3）^{2}}$，解得y=-3-$\sqrt{17}$或y=-3+$\sqrt{17}$，
∴C（0，-3-$\sqrt{17}$）或（0，-3-$\sqrt{17}$）；
当点C在x轴上时，设C（x，0），则AC=$\sqrt{（x+1）^{2}+{3}^{2}}$，
∴$\sqrt{（x+1）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得x=-4或x=2，当x=-4时，B、C重合，舍去，
∴C（2，0）；
②当AB=BC时，当点C在x轴上，设C（x，0），
则有AB=3$\sqrt{2}$，BC=|x+4|，
∴|x+4|=3$\sqrt{2}$，解得x=-4+3$\sqrt{2}$或x=-4-3$\sqrt{2}$，
∴C（-4+3$\sqrt{2}$，0）或（-4-3$\sqrt{2}$，0）；
当点C在y轴上，设C（0，y），则BC=$\sqrt{{4}^{2}+{y}^{2}}$，
∴$\sqrt{{4}^{2}+{y}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，解得y=$\sqrt{2}$或y=-$\sqrt{2}$，
∴C（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）；
③当CB=CA时，则点C在线段AB的垂直平分线与y轴的交点处，
∵A（-1，-3），B（-4，0），
∴线段AB的中点坐标为（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
设线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+d，
∴-$\frac{3}{2}$=-$\frac{5}{2}$+d，解得d=1，
∴线段AB的垂直平分线的解析式为y=x+1，
令x=0可得y=1，令y=0可求得x=-1，
∴C（-1，0）或（0，1）；
综上可知存在满足条件的点C，其坐标为（0，-3-$\sqrt{17}$）或（0，-3-$\sqrt{17}$）或（-4+3$\sqrt{2}$，0）或（-4-3$\sqrt{2}$，0）或（-1，0）或（0，1）或（2，0）或（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）；
（3）过点P作PQ⊥EF，交EF于点Q，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵PE∥OA，GE∥AD，
∴∠OAD=∠PEG，∠PQE=∠ODA=90°，
∴△PQE∽△ODA，
∴$\frac{EQ}{PQ}$=$\frac{AD}{OD}$=3，即EQ=3PQ，
∵直线AB的解析式为y=-x-4，
∴∠ABO=45°=∠PFQ，
∴PQ=FQ，BG=GF，
∴EF=4PQ，
∴GE=GF+4PQ，
∵S_△BGF=3S_△EFP，
∴$\frac{1}{2}$GF²=3×$\frac{1}{2}×$4PQ²，
∴GF=2$\sqrt{3}$PQ，
∴$\frac{EF}{GF}$=$\frac{4PQ}{2\sqrt{3}PQ}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出C点的位置是解题的关键，在（3）中构造相似三角形求得EF、GF和PQ的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．