Question

如图，在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，E、F、G、H分别为它们的交点．求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

考点：正方形的判定

专题：证明题

分析：由在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，易证得△ADF，△CGD，△BCH是等腰直角三角形，则可得∠EFG=∠FEH=∠EHG=90°，即可得四边形EFGH是矩形，又可证得FG=HG，即可得四边形EFGH是正方形．

解答：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AD=BC，
∵在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，
∴∠ADF=∠FAD=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=

2

DF，∠AFD=90°，AF=DF，
∴∠EFG=90°，
同理：∠FEH=∠EHG=90°，DG=CG，BC=

2

CH，
∴四边形EFGH是矩形，且DF=CH，
∴FG=HG，
∴四边形EFGH是正方形．

点评：此题考查了正方形的判定、矩形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．