Question

设a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，则(

ab2+b2-2a+1

a

)2012=

1

．

Answer 1

分析：将两等式左右两边相减，左边整理后分解因式，根据1-ab²≠0的题设条件求得b²=-a，代入所求的分式化简，再将a²=-2a+1代入，整理后即可求出值．

解答：解：∵a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，
∴（a²+2a-1）-（b⁴-2b²-1）=0，
化简之后得到：（a+b²）（a-b²+2）=0，
若a-b²+2=0，即b²=a+2，则1-ab²=1-a（a+2）=1-a²-2a=0，与题设矛盾，所以a-b²+2≠0，
因此a+b²=0，即b²=-a，
又因为a²+2a-1=0，即a²=-2a+1，
则(

ab2+b2-2a+1

a

)2012
=(

-a2-a-2a+1

a

)2012
=(

2a-1-a-2a+1

a

)2012
=（-1）²⁰¹²
=1．
故答案为：1．

点评：此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当方程有解，即b²-4ac≥0时，设方程两根分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．