Question

3．已知，y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴，y轴的交点分别是点A，B，点C（-2，3），O是原点，求点C到直线AB的距离．

Answer 1

分析 根据直线解析式可以求出OA、OB的长度，即可根据勾股定理求得AB，作DC⊥AB于D，CE∥x轴，交直线AB于E，可以得出△CED∽BAO，根据相似三角形的性质即可求出点C到直线AB的距离．

解答 解：当x=0时，
y=4，
当y=0时
0=-$\frac{4}{3}$x+4
x=3
∵函数y=x+4的图象与x轴，y轴的交点分别为A、B
∴A（3，0），B（0，4）
∴OB=4，OA=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
作DC⊥AB于D，CE∥x轴，交直线AB于E，
∴∠CED=∠OAB，
∵点C（-2，3），
∴E点的纵坐标为3，
把y=3代入y=-$\frac{4}{3}$x+4得，3=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴x=$\frac{3}{4}$，
∴CE=$\frac{11}{4}$，
∵∠AOB=∠EDC=90°，∠CED=∠OAB，
∴△CED∽BAO，
∴$\frac{CD}{OB}$=$\frac{CE}{AB}$，即$\frac{CD}{4}$=$\frac{\frac{11}{4}}{5}$，
∴CD=$\frac{11}{5}$
∴点C到直线AB的距离为$\frac{11}{5}$．

点评 本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，作出相似三角形是解题的关键．