Question

已知抛物线y=x²+2px+2p-2的顶点为M，
（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．

Answer 1

分析：（1）先判断出△的符号即可得出结论；
（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=-（p-1）²-1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．

解答：解：（1）∵△=4p²-8p+8=4（p-1）²+4＞0，
∴抛物线与x轴必有两个不同交点．

（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），
则|AB|²=|x₂-x₁|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4p²-8p+8=4（p-1）²+4，
∴|AB|=2

(p-1)2+1

．
又设顶点M（a，b），由y=（x+p）²-（p-1）²-1．
得b=-（p-1）²-1．
当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S_△ABM=

1

2

|AB||b|取最小值1．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．