如图.Rt△ABC中.∠ACB=90°.BC=6.AC=8．D是斜边AB的中点.BF⊥CD于点E.交AC于点F．(1)请求出线段BE的长,(2)点P.Q以每秒1个单位的速度同时从点A出发.点P沿线段AB运动到B.点Q沿A→C→B运动到点B.其中一点运动到终点.则运动中止.设运动时间为t.△CPQ的面积为y．①△CPQ的面积是否存在最大值?若存在.请求出它的最大值,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8．D是斜边AB的中点，BF⊥CD于点E，交AC于点F．
（1）请求出线段BE的长；
（2）点P、Q以每秒1个单位的速度同时从点A出发，点P沿线段AB运动到B，点Q沿A→C→B运动到点B，其中一点运动到终点，则运动中止，设运动时间为t，△CPQ的面积为y．
①△CPQ的面积是否存在最大值？若存在，请求出它的最大值；若不存在，请说明理由；
②是否存在时间t，使△CPQ沿CP折叠后点Q落在线段CD上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用直角三角形的性质得出∠A=∠ACD，再用同角或等角的余角相等得出∠A=∠CBF，从而得出tan∠CBF=tan∠A=$\frac{3}{4}$，即可设出CE，BE，用勾股定理求出BE；
（2）①分点Q在线段AC和BC上，用三角形的面积公式求出函数关系式，再确定出面积最大值，
②分三种情况，利用角平分线定理求出t的值，和CD≥CQ的时间t即可．

解答解：（1）∵D是斜边AB的中点，
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠A=∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A+∠BCD=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠BCD+∠CBF=90°，
∴∠A=∠CBF，
在Rt△ABC中，tan∠A=$\frac{BC}{AC}=\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠CBF=$\frac{3}{4}$，
在Rt△CBE中，设CE=3x，BE=4x，
根据勾股定理得，CE²+BE²=BC²，
∴（3x）²+（4x）²=36，
∴x=-$\frac{6}{5}$（舍）或x=$\frac{6}{5}$，
∴BE=4x=$\frac{24}{5}$．
（2）①如图1，
，
当0＜t≤8时，
由（1）知，tan∠A=$\frac{3}{4}$，
∴AP=t，AQ=t，
∴PG=$\frac{3}{5}$t，CQ=8-t
∴y=S_△CPQ=$\frac{1}{2}$CQ×PG=$\frac{1}{2}$（8-t）×$\frac{3}{5}t$=-$\frac{3}{10}（t-4）^{2}+\frac{24}{5}$，
当t=4时，y_最大=$\frac{24}{5}$，
②如图2，

当8＜t＜10时，
由（1）知，tan∠A=$\frac{3}{4}$，
∴AP=t，AQ=t，
∴AG=$\frac{4}{5}$t，CQ=t-8，
∴PH=AG=8-$\frac{4}{5}$t，
∴y=S_△CPQ=$\frac{1}{2}$CQ×PH=$\frac{1}{2}$（t-8）×（8-$\frac{4}{5}$t）=-$\frac{2}{5}$（t-9）²+$\frac{2}{5}$，
当t=9时，y_最大=$\frac{2}{5}$，
即：当t=4时，y_最大=$\frac{24}{5}$；
（3）存在时间t，使△CPQ沿CP折叠后点Q落在线段CD上；
①如图3，当点P在线段AD上，点Q在AC上时，即：0＜t≤5，

由（1）知，AQ=AP=t，
∴DP=AD-AP=5-t，CQ=8-t
∵△CPQ沿CP折叠后点Q落在线段CD上，
∴∠ACP=∠DCP，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{AP}{PD}$且DC≥CQ，
∴$\frac{8}{5}=\frac{t}{5-t}$且5≥8-t，
∴t=$\frac{40}{13}$且t≥3
∴t=$\frac{40}{13}$时，△CPQ沿CP折叠后点Q落在线段CD上；
②当点P在线段DB上，点Q在AC上时，即：5＜t≤8，
此时点P和点Q在线段CD两侧，所以△CPQ沿CP折叠后点Q不可能落在线段CD上；
③当点P在线段DB上，点Q在线段CB上时，即：8＜t≤10，
由（1）知，AP=t，CQ=t-8，
∴BP=10-t，DP=t-5，
∵△CPQ沿CP折叠后点Q落在线段CD上；
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{BP}{DP}$且CD≥CQ，
∴$\frac{6}{5}=\frac{10-t}{t-5}$且5≥t-8，
∴t=$\frac{80}{11}$且t≤13，
∵8＜t≤10，
∴t=$\frac{80}{11}$，不满足条件，
即：当t=$\frac{40}{13}$时，△CPQ沿CP折叠后点Q落在线段CD上．

点评此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，二次函数的极值的确定，折叠的性质，角平分线定理，解本题的关键是建立方程求解，难点是分类讨论，要考虑全面，不要漏解．

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