Question

阅读下面的材料：
在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k₁x+b₁（k₁≠0）的图象为直线l₁，一次函数y=k₂x+b₂（k₂≠0）的图象为直线l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我们就称直线l₁与直线l₂互相平行．
解答下面的问题：
（1）已知一次函数y=-2x的图象为直线l₁，求过点P（1，4）且与已知直线l₁平行的直线l₂的函数表达式，并在坐标系中画出直线l₁和l₂的图象；
（2）设直线l₂分别与y轴、x轴交于点A、B，过坐标原点O作OC⊥AB，垂足为C，求l₁和l₂两平行线之间的距离OC的长；
（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值，并求取得最小值时Q点的坐标．

Answer 1

分析：（1）直线l₂的解析式是一次函数，一次项系数是-2，则直线l₂的解析式为y=-2x+b，把点P（1，4）代入即可求得b的值，则函数的解析式即可求解；
（2）首先求得OA、OB的长度，依据S△OAB=

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OC，即可求得OC的长度；
（3）B关于y轴的对称点B′（-3，0），连结B′P交y轴于Q，即可求解．

解答：解：（1）∵l₁∥l₂，
∴设直线l₂的解析式为y=-2x+b，把点P（1，4）代入得，4=-2+b，解得：b=6，
∴y=-2x+6，
画图如图所示：


（2）直线l₂与y轴、x轴的交点A、B的坐标，分别为（0，6）（3，0）；
所以OA=6，OB=3，则AB=3

5

，
因为OA×OB=AB×OC，
所以OC=

6

5

=

6 5

5

；
（3）∵B关于y轴的对称点B′（-3，0），连结B′P交y轴于Q，
∴QP+QB的最小值为4

2

，
∵直线B′P的解析式为y=x+3，
∴Q（0，3）．

点评：本题是待定系数法求函数的解析式，以及直角三角形的面积，轴对称的综合应用，正确确定Q的位置，理解平行的条件是关键．